1.1 一阶系统的传递函数标准形式及单位阶跃响应

一阶系统的典型结构图：如图1所示，其中K为开环增益,这里暂时设置为1。系统传递函数的标准形式（尾I型）为：

式子中：T 称为系统一阶系统的时间常数，系统的特征根为-1/T；

系统单位阶跃响应的拉普拉斯变换为：

时域单位阶跃响应：

1.2 一阶系统动态性能指标计算

令h(t) = 0.95 即：

解(4) 可得ts = 3T:即一阶系统在经过3T的时长，系统将达到稳态的95%的范围内。下面将用maltab对t s = 1, 2, 3, 4s分别进行曲线绘制，直观的展示一阶系统的动态性能指标,Maltab代码 如下：

T=1.0;
t=[0:0.1:15];
z=ones(1,151)*0.95;

for i=1:1:4
num=[0 1];
den=[i*T,1];
[c x t]=step(num,den,t); % step response
plot(t,c,'b-'); % plot
hold on
end

xticks(0:3:15);
xlabel('t(s)');
ylabel('h(t)')
hold on
plot(t,z,'r.');
grid on

Matlab代码运行结果:

有图(2)可知：一阶系统当不同的惯性时间常数T下，在3T下系统都将达到稳态的95%。

2 总结

一阶系统其阶跃响应为单调递增的，没有超调，系统的响应的快慢取决于惯性时间常数T，在3T下 系统都将达到稳态的95%。

letax 代码

我用letax代码写了此文档，现将letax代码贴出来，有兴趣的同学，可用此代码生产pdf文档，其排版优美，简洁。

\documentclass{ctexart} % 设置文章类型
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\lhead{自动控制原理}
\rhead{一阶惯性系统}
\cfoot{第\thepage 页(共 \pageref{LastPage} 页)}
% 信息栏
\title{自动控制原理-一阶系统时间响应及其动态性能}
\author{风电自控}
\date{\today}
%% 正文区
\begin{document}
\maketitle
\newpage
\tableofcontents
\newpage

\section{一阶系统的时间响应和动态响应性能}
\subsection{一阶系统的传递函数标准形式及单位阶跃响应}

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{E:/letax/first-order sysyem/Diagram of a typical structure of a first-order system}
\caption{一阶系统典型结构图}
\label{Diagram of a typical structure of a first-order system}
\end{figure}

一阶系统的典型结构图：如\eqref{Diagram of a typical structure of a first-order system}所示，其中$K$为开环增益,这里暂时设置为1。
系统传递函数的标准形式（尾I型）为
\begin{equation}
G(s)=\frac{K}{s+K}=\frac{1}{Ts+1}A
\end{equation}
式子中：$T=\displaystyle \frac{1}{K}$ 称为系统一阶系统的时间常数，系统的特征根$\lambda=\displaystyle \frac{-1}{T}$.\\

系统单位阶跃响应的拉普拉斯变换为：
\begin{equation}
C(s)=\frac{1}{s}\frac{1}{Ts+1} =\frac{1}{s} -\frac{1}{s+\dfrac{1}{T}}
\end{equation}

时域单位阶跃响应：
\begin{equation}
h(t)=\mathcal{L}^{-1}[C(s)]= 1-e^{-\frac{\displaystyle t}{\displaystyle T}}
\end{equation}

\subsection{一阶系统动态性能指标计算}
令$h(t)=0.95$ 即：
\begin{equation}
h(t)= 1-e^{-\frac{\displaystyle t_s}{\displaystyle T}}=0.95
\label{first-order repose Ts}
\end{equation}
解\eqref{first-order repose Ts}
可得 $t_s=3T$:即一阶系统在经过$3T$的时长，系统将达到稳态的$95\%$的范围内。\\
下面将用maltab对$t_s=1,2,3,4s$分别进行曲线绘制，直观的展示一阶系统的动态性能指标,Maltab代码如下：\\
\lstset{
language = matlab,
backgroundcolor = \color{yellow!10}, % 背景色：淡黄
basicstyle = \small\ttfamily, % 基本样式 + 小号字体
rulesepcolor= \color{gray}, % 代码块边框颜色
breaklines = true, % 代码过长则换行
numbers = left, % 行号在左侧显示
numberstyle = \small, % 行号字体
keywordstyle = \color{blue}, % 关键字颜色
commentstyle =\color{green!100}, % 注释颜色
stringstyle = \color{red!100}, % 字符串颜色
frame = shadowbox, % 用(带影子效果)方框框住代码块
showspaces = false, % 不显示空格
columns = fixed, % 字间距固定
%escapeinside={} % 特殊自定分隔符：
morekeywords = {as}, % 自加新的关键字(必须前后都是空格)
deletendkeywords = {compile} % 删除内定关键字；删除错误标记的关键字用deletekeywords删！
}
\begin{lstlisting}[caption=FirstOrderSystemResponseTs, language=matlab]
T=1.0;
t=[0:0.1:15];
z=ones(1,151)*0.95;

for i=1:1:4
num=[0 1];
den=[i*T,1];
[c x t]=step(num,den,t); % step response
plot(t,c,'b-'); % plot
hold on
end

xticks(0:3:15);
xlabel('t(s)');
ylabel('h(t)')
hold on
plot(t,z,'r.');
grid on
\end{lstlisting}
Matlab代码运行结果:\\
% 单图插入
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{F:/MatlabCode/FirstOrderSystemResponse}
\caption{一阶系统动态响应}
\label{FirstOrderSystemResponse}
\end{figure} \\
有图\eqref{FirstOrderSystemResponse}可知：一阶系统当不同的惯性时间常数$T$下，在$3T$下系统都将达到稳态的$95\%$。
\section{总结}
一阶系统其阶跃响应为单调递增的，没有超调，系统的响应的快慢取决于惯性时间常数$T$，在$3T$下系统都将达到稳态的$95\%$。
\end{document}